北京交通大学研究生专业介绍:数 学

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  硕士研究生培养方案----数学

  数学(一级学科)

  (专业代码0701,授予理学硕士学位)

  一、培养目标

  硕士学位获得者应较好地掌握马克思主义理论的基本原理、毛泽东思想和邓小平理论,树立正确的世界观、人生观和价值观,坚持四项基本原则,热爱祖国,遵纪守法,品德良好,身体健康,有良好的学术道德,积极为社会主义现代化建设服务。

  在学识方面,要在所学专业领域具有坚实的基础理论和系统的专门知识,了解相关学科的发展趋势和本专业的前沿研究动态;具有从事科学研究和解决实际问题的能力;较熟练地应用计算技术处理相关实际问题。掌握一门外国语言,能熟练阅读专业文献,撰写有创新内容的论文和进行学术交流。毕业后可以独立从事本专业的理论研究、实际应用以及数学教学工作。可在高等院校、科研机构或实际应用部门工作。

  二、学科、专业及研究方向简介

  本学科于1990年获应用数学硕士学位授予权,2003年获运筹学与控制论博士学位授予权,2005年获数学一级学科硕士学位授予权。目前在基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论五个二级学科上招收硕士研究生,在运筹学与控制论专业招收博士研究生。本学科近五年承担的国家自然科学基金重点和面上项目20余项,863项目、霍英东基金、高校优秀青年教师基金、教育部重点基金、教育部优秀青年教师资助计划、新世纪优秀人才支持计划等10余项,其成果曾获得中科院自然科学二等奖、全国高校科技奖自然科学二等奖等,在国内外产生了重要影响。数学学科现有教师70余名,其中博士生导师11名,教授18名,副教授30余名。

  主要研究方向及其研究内容:

  
1.代数学理论及其应用

  代数学是一门重要的数学分支,它主要研究各种代数系统的结构与性质。主要研究兴趣在群论、代数表示论和代数编码等领域。群论是一个古老的学科,它主要研究群的结构与分类,并通过研究图的自同构群分析图的性质,定出图的结构,进而将其用于通讯理论、软件工程、网络的优化设计等;代数表示论是二十世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支,它的基本内容是研究环与代数的结构,并且在物理学、化学、天文、建筑、信息与通信等自然科学与技术领域里都有广泛的应用;代数编码理论是由数字通讯的可靠性要求所建立和不断发展的数学理论,它主要利用代数工具构作具有良好特性的纠错码。

  2.几何与拓扑

  几何学是数学的一个古老分支,而微分几何学则是上世纪以来得到迅猛发展又对数学的其它分支及其理论产生重大影响的分支学科。它包括极小子流形理论,黎曼几何学,Mobius几何以及流形上的分析等。经典微分几何就是三维欧氏空间中的曲面论和曲线论,它对于齿轮设计和计算机的图形设计等都有具体的运用。主要研究兴趣包括Mobius几何和流形上的分析,主要内容为指标定理,尤其是殆复流形上椭圆算子的局部指标定理的研究。

  拓扑学是数学中的一个重要而基础的分支,起初它属几何学的一支,研究图形在连续变形下保持不变的性质。现已发展为研究连续性现象的数学分支。由于连续在数学中的表现方式与研究方法的多样性,拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。如一般拓扑学与代数拓扑学。后来相继出现了微分拓扑学与几何拓扑学等分支。

  拓扑学与微分几何有着血缘的关系,它们在不同的层次上研究流形的性质。例如,陈省身示性类不但对微分几何学影响深远,对拓扑学也十分重要。拓扑学对现代分析学的发展起了巨大的推动作用。例如,勒雷和绍德尔把布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。这些理论成为研究非线性偏微分方程的标准工具。拓扑学的需要大大刺激了抽象代数的发展,并形成两个新的代数分支,同调代数与代数K理论。在经济学方面,冯.诺依曼首先把不动点定理用来证明均衡性的存在性。

  3.函数论与非线性分析

  函数论作为传统的数学分支,主要研究函数空间及其性质,是分析数学的理论基础。复变的情形涉及单复变数与多复变数的解析函数论;实变的情形涉及测度论、抽象积分。函数逼近论与调和分析是现代数学中可以归入函数论的两个重要的活跃的研究方向。调和分析包括欧氏空间及环群上的傅立叶分析、空间与索伯列夫空间等上的奇异积分算子的研究、新近发展起来的小波分析理论。从广义上讲,调和分析还包括李群与黎曼对称空间上的抽象傅立叶分析,与李群的表示理论有重要的交叉。函数逼近论包括线性与非线性逼近方法的研究、连续模与-泛函的性质、最佳逼近阶的估计、最佳逼近阶与函数结构性质的关系的研究、最佳逼近的精确常数的计算、宽度问题、最优机械求积、插值与样条等。与计算数学及计算机的数学理论有重要的交叉。

  非线性分析是目前国际上研究十分活跃的交叉学科之一,主要研究数学与数学物理中的非线性问题。由于它在生命科学,自然科学,地质科学,计算机科学等领域的广泛的应用,可以预见它将在国民经济主战场起到重要作用。其主要内容包括巴拿赫空间的分析学,拓扑方法与变分方法,莫尔斯理论,系统的混沌性,分形结构等。

  4.混沌、分形与控制

  该方向属于复杂性科学基础理论和方法研究,在于揭示各种复杂系统的共性和演化过程中所遵循的共同规律,如研究演化、涌现、自组织、自适应、自相似等复杂系统的共同特征等。它的应用几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域,正起着把现代科学各个领域连接起来的作用。主要内容包括:Fractal分析,Hausdorff测度理论,混沌及其控制,分形和图象压缩,分形与编码理论,低维动力系统,高维动力系统,复动力系统,遍历性理论,李雅普诺夫指数和熵,动力系统在生物学、生态学、经济学、现代交通系统、神经网络等领域中的应用。

  5.微分方程理论与应用

  微分方程(包括常微分方程和偏微分方程)是数学学科中十分重要的经典领域,与数学的基础领域(分析、几何与代数)以及物理、力学、化学、生物等问题都有密切关系,它是联系实际问题的重要途径。主要研究课题有:常微分方程与偏微分方程的定性分析和稳定性理论、适定性理论(存在性、唯一性和解对已知数据的连续依赖性)、边值问题和解析理论;研究广义泛函空间上的变分方法、偏微分方程及方程组的正则性理论和奇异性分析,奇异积分方程理论,非线性分析理论,非线性波理论和数值方法。应用现代计算机与网络技术研究或求方程精确解,应用偏微分方程和常微分方程理论研究弹性力学和断裂力学问题分析、基层图像处理、编码分析、生物和化学中的有关问题。

  6.计算理论与信息处理

  本方向主要研究如何利用数学的思想和方法解决实际应用问题,其核心内容是有关计算理论研究,以及以计算机为工具、以数学建模为基础的数值分析和模拟计算,并提供有效的计算方法和信息处理软件。该方向涉及多个研究及应用领域,包括数学建模方法、数值计算、图像重建、图像处理、计算金融学等。其中,数学建模研究实际应用问题的数学描述方法(建模)以及如何用数值方法有效地求解问题。图像重建主要研究如何利用从物体外部接受到的信息重建描述物体物性参数的函数图像。研究内容包括:问题的数学表述(或数学建摸)、数学适定性、有效的数值方法、重建函数的图像表示与处理以及应用软件的研究。图像处理的研究内容主要有:图像检测、特征提取以及图像序列中运动目标的跟踪和检测方法及相应的软件实现技术等。图像处理和图像重建是目前国内外数学、电子和计算机交叉学科的研究热点,具有很强的应用背景,例如图像重建的研究成果在上世纪七十年代即已成功应用于医学(CT),而图像处理中的边缘检测、特征提取等技术则广泛应用于交通、公安、医学等多个领域。本方向的另一个研究内容“计算金融学”也是数学与应用相结合的一个新兴研究领域,它以数学在金融、保险、证券等行业的应用为主要研究内容,包括金融数学建模、风险信息处理、金融计量、资产定价等。

  计算理论与信息处理研究方向的工作非常有利于经济和科学的发展,并能促进各学科的渗透。因此,它们被认为是21世纪技术科学中最有用的两个密切相关研究领域。目前,在提倡科学技术为社会和国家的现代化服务的大环境下,本研究方向的高级人才正越来越受到社会的欢迎。

  7.微分方程数值解法

  科学与工程的大量问题最终归结为微分方程,该方向是研究求解微分方程数值解的各种方法(如有限元方法、差分方法、有限体积法、谱方法、广义差分方法等),为科学工程计算提供优秀的计算方法和应用软件,并应用于各种领域中的数值计算中,直接为科学发展和经济建设服务。该方向的培养目标是使研究生掌握扎实的求解微分方程数值解的基础理论和应用技能,具有较强的科学计算编程能力,成为科学工程计算的专业人才。

  8.随机分析与随机控制

  随机控制是当今最为活跃的新兴数学领域之一,也是国际上的热门学科。该方向的客观背景来源于金融控制、经济管理、航天制导、原子能应用及自动控制诸多现代前沿领域,它的方法及理论是为解决这些领域中的一些关键问题而产生的,因此它在这些领域有着巨大的应用价值。由于基于实用背景的控制模型的处理需要产生随机分析、方程理论及控制理论的一些新的思想方法,因而随机控制的研究又有着重大的理论意义。由于以上原因,这方面的研究产生了许多具有重要意义的研究成果,包括获得菲尔兹奖及经济学诺贝尔奖的重大成果。从事随机控制的研究需要较为扎实全面的数学素养,要熟悉概率(特别是随机分析)、分析、方程及控制方面的基本理论及处理手法。

  9.概率论与数理统计及其应用

  概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来,随着计算机的发展以及各种统计软件的开发,概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括:极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论;随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域,包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。应用统计学方法的产生主要来源于实质性学科的研究活动中,例如,最小二乘法与正态分布理论源于天文观察误差分析,相关与回归分析源于生物学研究,主成分分析与因子分析源于教育学与心理学的研究,抽样调查方法源于政府统计调查资料的搜集等等。本研究方向在学习概率论、统计学、随机过程论等基本理论的基础上,致力于概率统计理论和方法同其它学科交叉领域的研究,以及统计学同计算机科学相结合而产生的数据挖掘(DataMining)的研究。此外,金融数学(MathematicalFinance)也是本专业的一个主要研究方向。它主要是通过数学建模,理论分析、推导,数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析,以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。

  10.图、网络与组合优化

  本方向主要利用拓扑、代数以及组合理论,研究图与网络中一些基础问题。用拓扑理论研究图在各种拓扑流形上,在各种条件下嵌入的存在性,以及在各种目标下的最优性,兼顾在超大规模集成电路布局设计自动化中的应用以及从中提出的基础拓扑理论研究;用有限群和置换群理论研究强对称性图类,主要是弧传递图、半传递图、半对称图、s-正则图以及s-传递图等,强调它们在网络拓扑中的应用,特别是优化网络参数如容错直径、限制性边连通度等的估计与计算;用组合理论研究泛函方程,地图计数以及交通网络设计等。

  11.组合设计与编码理论

  组合设计理论近年来无论在国际上还是在国内都是发展十分迅速的一个数学分支,它主要研究各种离散结构的存在性问题、构造问题、计数问题和优化问题等。其基本内容和方法既与数论,代数学,有限几何以及数理统计等数学分支有密切而深刻的联系,又与其它新兴学科诸如计算机科学、信息科学、网络通讯理论乃至生物学和化学互相交叉互相渗透。组合设计理论和方法在编码、密码学和计算机网络中的应用正越来越受到人们的重视,引起众多学者的密切关注和研究。

  12.系统优化理论与方法

  系统优化是运筹学领域中最为活跃的分支之一,并且与其他应用科学有密切的联系。它的核心是运用数学方法并以电子计算机为工具研究各种系统的优化途径及解决方案,为决策者提供科学决策的依据。主要研究对象是诸如通信与网络、交通运输、自动控制、国防安全、工程技术、科学管理等应用领域中出现的优化问题,其主要研究方法是实际问题定量化和模型化,尤其是建立各种优化模型。最优化的主要目的在于改善并解决实际问题,即针对所研究的系统,求得一个合理的最佳方案,最终达到系统运行的最优目标。

  目前该方向的研究重点是:连续系统优化、随机系统优化、混沌系统优化、交通优化。其中连续系统优化包括非线性规划理论与方法、变分不等式与互补问题、大范围优化理论与方法、博弈论在经济管理中的应用、信号处理与图像恢复中的优化问题;随机系统优化包括随机服务系统理论与方法、系统可靠性理论与方法、随机存贮分析;交通优化包括交通网络均衡问题的建模、分析与控制。

  三、培养方式及学习年限

  1.培养方式

  硕士研究生的培养实行导师负责制。在导师指导下,结合上课、讲座、讨论班等方式使学生在自学能力、创新能力、实践能力等方面得到提高,适应社会的需要。

  2.学习年限

  全日制攻读硕士学位的研究生实行2至3年的弹性学制,具体学习年限应根据学生的学习情况由导师决定。非全日制攻读硕士学位的研究生一般不超过4年。

  四、课程设置与学分

  课程设置分学位课和非学位课两大类,学位课分公共课、基础课、专业基础课,非学位课分必修环节和任选课。硕士研究生实行学分制,学习阶段至少修满28学分。课程教学一学年分为四个时间段,每学期分上半学期和下半学期,课程学习一般应在1.5学年内完成。学分具体要求如下:

  1.学位课(不低于17学分)其中:公共课5学分,基础课,专业基础课12学分,

  2.非学位课(不低于11学分)

  必选课(不低于3学分)其中:前沿讲座2学分,文献综述1学分,任选课(不低于8学分)

  其中:专业选修课不少于4学分。